Kviz - terestrická navigace

[lynx]

Plujeme na lodi podél pobřeží, na kterém je maják. Použijeme ho k navigaci. Změříme náměr a pomocí sextantu úhel, pod jakým vidíme výšku světla nad hladinou. Tato výška je v mapě nebo pilotu uvedena 40 metrů. Naše vzdálenost od majáku (podle odhadu – vycházejme z předpokladu, že je správný) je pět mil.
Hraje roli, že jsme měření provedli z paluby lodi, takže výška našeho oka nad hladinou byla 2,6 metru?
Tedy jinak: Pokud neprovedeme korekci výpočtu o tuto výšku, ovlivní to podstatně přesnost měření? A proč?
Podstatně = bude rozdíl alespoň 1 míle?

[Libor]

Dobrý test
Nevím jak to zadání myslíš...
[spoil]Světlo se právě objevilo na horizontu?
Potom výška hraje velkou roli.....Zdálenost světla na obzoru v Nm = 2.08 x (2 odmocnina z výšky objektu v m + 2 odmocnina z výšky oka nad hladinou )

Vidím celý maják nad hladinou?
Pak měřím úhel mezi hladinou a světlem a je jedno jak jsem vysoko nad hladinou, úhel je ořád stejný.
tg alfa = H/ d což lze převést na zdálenost majáku d = 13 x H / 13 x tangent alfa, neboli 13 x H / 7 x alfa

Takže v doslovném zadání:
výška oka nehraje roli
neovlivní, nikde výška oka ve výpočtu nevystupuje (pouze v případě světla přesně na horizontu, ale to je jiný výpočet, níž u hladiny ho ještě nevidím, jsem-li výš už ho vidím...)
rozdíl žádný nebude

Tolik můj názor[/spoil]

[windward]

No to je naprosto super kviz!

Odpovidam mimo soutez. Jen si chci overit, zda to vim spravne.

Pokud spravne rozumim zadani, tak je nutne odmyslet si absolutne vsechny ostatni vlivy a uvazovat pouze nad tim, na kolik bude vysledek ovlivnen zanedbanim vysky oka pozorovatele nad hladinou more pri vypoctu observovane distance ze svisleho uhlu. V takovem pripade odpoved ma byt tato:

[spoil]Chyba v observovane distanci bude mensi, nez je vyska oka pozorovatele nad hladinou, tj. je absolutne bezvyznamna.[/spoil]

[Pepa]

[spoil]Pokud nebudeš okem zásadně výše nad hladinou, než je výška majáku /40m/ a to se nepodaří asi ani z plovoucího paneláku, potom je maximální možná chyba
8,63 cm. Na to stačí starý dobrý pythagor. Závažnost chyby, nechť posoudí každý sám.
Výpočet mohu doložit, ale vlastně jsem jej již vysvětlil.
a na druhou +b na druhu odnocním a odečtu od a
/a= 5nm/
dostávám maximální rozdíl. Žádná složitost. [/spoil]
Pepa

[windward]

Pepo,

mne vyslo, ze distance, kterou dostaneme v dusledku vypoctu pravouhleho trojuhelniku, bude o 10.5 mm kratsi, nez ve skutecnosti by mela byt. (Pokud si odmyslime, ze objekt nevidime cely, tj. uvazujeme zem placatou a vzduch bez refrakce. Jinak doopravdy obzor podle vysky oka 2.6 je 3.4 Nm, kdyz tak dle zadani je zakladna objektu dal - ve vzdalenosti 5 Nm.)

[Macek0585]

Lynxi, včera jsi mi psal že není tupých otázek, že jsou jen tupé odpovědi, doufám, že ta moje taková nebude. . Nicméně myslím si, že (po vynechání navigace a pouze s přihlédnutím k trigonometrii) bude chyba pro účely navigace zanedbatelná.

[maxik]

Ať si to maluju, jak si to maluju, tak větší chybu udělám v odhadu vzdálenosti podle výšky majáku než že nemám oko na hladině. na 20% chybu se neumím dostat.
Maxik

[lynx]

Tak tedy:
* ano, neuvedl jsem, že si na takhle malou vzdálenost idealizujeme tvar zemského povrchu na rovinu – tady mohlo vzniknout nedorozumnění
* na druhou stranu refrakce se zde vůbec neprojeví, protože ta vzniká lomem světla nebeského tělesa na rozhraní různých vrstev vzduchu v atmosféře – tady jsou navigátor i maják zcela jistě ve stejné vrstvě
* u majáku, jehož světlo je 40 m nad hladinou nemůže ani u reálného zemského povrchu z 5 mil nastat případ, že by se světlo právě objevilo na horizontu

Vesměs jste všichni odpověděli správně.

Kvizem jsem chtěl upozornit na dvě věci:
* na rozdíl např. od měření kulminace Slunce výška oka nad hladinou nehraje u takovýchhle vzdáleností majáku roli
* pokud by se ale jednalo o vzdálenost výrazně menší, chyba vznikne – viz následující obrázek a příklad:



Při vzdálenosti 5 mil je alfa1= 0,247496°, což odpovídá 14,849'.
alfa2= 0,016887° a alfa3= 0,248296°, což je dohromady 14,897'.
Čili rozdíl je v řádu setin úhlových minut. Nevím jak vám, ale mě měření s takovou přesností zní jako sci-fi.

Úplně jiná je situace v podstatně menší vzdálenost. Pro názornost jsem zvolil vzdálenost naprosto minimální. Viz spodní obrázek.
Tg alfa1= 1, => alfa1= 45°
tg alfa2= 0,8 => alfa2= 38,659°, tg alfa3= 0,2 => alfa3= 11,309°.
Součtem alfa2 + alfa3 dostaneme 49,968°. Čili rozdíl je v řádu stupňů!!!
Budeme-li se od majáku vzdalovat, rozdíl bude klesat, ale ještě rozdíl v řádu minut nám znepřesňuje navigaci. Nechce se mi počítat, v jaké vzdálenosti bude rozdíl právě jedna minuta (záleží na výšce majáku). Kdyžtak si to může střihnout někdo z vás.

P.S. Tímto se omlouvám příteli Alffovi za zneužití jeho jména.

[windward]

Ahoj, Lynxi.

Dekuji ti jeste jendou za zajimavy a poucny kviz.

Dovol mi prosim pratelsky nesouhlasit s nekterymi z tvrzeni.

-------------------------------------------------

Pripomenme si z navigace vzorec pro stanoveni vzalenosti k obzoru:

D = 2.08 x druha odmocnina z vysky oka, (kterou oznacime e)

Podle tohoto vzorce vititelny obzor pro vysku oka 2.6 je 3.4 Nm. Podivejme se na to "ze strany majaku". Pokud si rekneme, ze svetlo majaku je vlastne nase oko ve vysce 40m nad hladinou, pak tedyviditelny obzor majaku je 13.2 Nm. Ztoho plynou dva dusledky:

- z urovni hladiny majak spatrime ve vzdalenosti 13.2 Nm, avsak dle zadani nase vzdalenost je 5 Nm, tj. my svetlo rozhodne vidime a k tomu jeste i kus samotneho majaku

- z vysky oka 2.6 m majak sptarime ze vzdalenosti 16.6 Nm (soucet 3.4 Nm a 13.2 Nm)

------------------------------------------------------

Refrakce se projevi. Neni to moc, ale vyse uvedeny vzorec pro vypocet vzdalenosti obzoru se pocita s pusobenim refrakce.

Pokud vidime jak zaklad tak i svetlo majaku, pak ucinek refrakce je nepodstatny. Pokud vsak zaklad je skryty za obzorem, jako v nasem pripade, pak ucinek refrakce se projevi chybou o velikosti 8 procent od vzdalenosti k objektu. Pri vzdalenosti 5 Nm dle zadani je chyba z refrakce 0.4 Nm. Je otazka, zda je to moc nebo malo (nedosahuje to ovsem "predepsanych" 20 procent).

Z receneho hlavne plyne, ze pri stanovovani vzdalenosti pomoci sextantu muze byt refrakce nekdy dulezita.

S uctou
Roman

[lynx]

Ahoj Romane,
i já si dovolím přátelsky nesouhlasit:
Jak jsem uvedl, refrakce je lom světla, které prochází rozhraním dvou (nebo více) vzduchových vrstev. To se děje pokud světlo přichází do atmosféry zvenčí a "prodírá" se rozhraními vrstev vzduchu, které jsou různě teplé, různě husté nebo mají jinak rozdílné optické vlastnosti. To se v přízemní vrstvě, ve které se nachází jak pozorovatel, tak maják, rozhodně neděje. Myšlenka, že by refrakce působila v nulové výšce mi připadá divná. To, že např. vidíme Slunce v okamžiku, kdy je těsně pod obzorem, je způsobeno právě refrakcí,která v tomto případě činí kolem 34' a Slunce (s úhlovým průměrem kolem 31') "vyzdvihne" nad obzor. Ovšem jedná se o světlo, které pod určitým úhlem, který se nerovná 90°, vstupuje zvenčí do atmosféry.
Nepopisuješ jiný jev?

Co se týká vzdálenosti obzoru souhlasím, ale, jak už jsem psal, vycházel jsem ze zjednodušení, kdy nahradíme zemský povrch na malou vzdálenost rovinou. Uznávám ale, že v zadání jsem to neuvedl.

[lynx]

Dovoluji si vložit neumělou ilustraci refrakce, ze které je doufám jasné, jak myslím svoje tvrzení, že v téže přízemní vrstvě (měřitelná) refrakce nenastane. Ve vrstvě mezi hladinou a výškou světla majáku by se muselo nacházet rozhraní dvou hmot s jinou optickou hustotou. To mi připadá silně nepravděpodobné.



P.S. Sajri, astronome, kde jsi?

[windward]

Lynxi,

dekuji ti za zajimavou diskuzi. Nezbyva nez konstatovat, ze mluvime o tom stejnem. O refrakci. Musime vsak oddelit druhy refrakce.

Ty mluvis o astronomicke refrakci; ve smyslu podstaty tohto jevu s tebou musi absolutne souhlasit. Avsak ja mluvim o terrestricke refrakce, konkretne o jeji svisle slozce (je jeste i vodorovna slozka, ktera nas nezajima).

Terrestrickou refrakci si muzeme vysvetlit per huba priblizne takto. Obratme se k opet k refrakci astronomicke. Pokud svetelny paprsek prichazi z hadhlavniku, neni jeho draha zakrivena refrakci. Svetelny paprsek od telesa s nenulovou zenitovou vzdalenosti vsak prijde po (svisle) zakrivene draze, ktera bude zakrivena tim vice, cim blize k povrchu Zeme se paprsek priblizi. Neni zadny duvod se domnivat, proc by toto zakriveni nepusobilo i v malych vyskach nad povrchem Zeme. Zde tomuto jevu se rika refrakce terrestricka.

Zkusim prilozit nejaky obrazek (mam pocitac v nemocnici, tak mi nic nefunguje, proto se omlouvam za kvalitu).



Kruh je kulata Zeme se stredem v O. P je objekt. M je misto pozorovatele na povrchu Zeme. M1 je jeho oko v nejake vysce.

Primka M1-P je pomyslna zorna primka, ktere prekazi Zeme. Oblouk M1-P je draha svetelneho paprsku od objektu P k oku M1.

Oblouk M-P je vzdalenost mezi mistem pozorovatele M a objektem P. POkud ho budeme merit v nautickych milich, pak on je rovny uhlu b pri stredu zeme O vyjadrenemu v obloukovych minutach (jsme zpet u starych dobrych nautickych mili!!!!).

Cervena primka vychazejici z P je tecna k draze paprsku v miste objektu. Druha cervena primka je tecna k draze paprsku v oku pozorovatele M1.

Uhel, ktery svira tecna k draze paprsku s primkou M1-P je uhel terrestricke refrakce. Na zaklade mereni bylo stanoveno (toto jedine neumim podlozit vlastni zkusenosti, pac jsem refrakci nikdy meneril, pokud mne pamet neklame), ze pro ucely navigace lze tvrdit toto:

- tento uhel pri oku pozorovatele M1 je prakticky rovny totoznemu uhlu pri objektu P
- na zaklade predchoziho ma se za to, ze svetelny paprsek se siri zhruba pravidelnym obloukem s polomerem rovnym zhruba sedminasobku polomeru zemekoule O-P (ja osobne uvazuji polomer zemekoule rovny 6371 tis. metru)


Hodnotu terrestricke refrakce je v tomto pripade zvykem vyjadrovat v procentech od vzdalenosti M-P, coz je totez, jako procento minutove hodnoty uhlu b. Prakticky se to vyjadruje koeficientem. Podle okamziteho optickeho stavu ovzdusi (teplota, vlhkost, tlak, znecisteni) koeficient refrakce k muze byt od 0.01 do 0.15. Pri standardnim stavu ovzdusi (760mm, +10°C) je pokladan za 0.08.

Zaver: terrestricka refrakce cini 0.08 oblouku M-P. Nebo take 1/13 od M-P. Jednoduse (oblouk M-P)/13.

-------------------------------------------

Pojdme dale. Pokud jak zakladna, tak i vrchol objektu jsou videt, pak refrakce je "zdviha" zhruba o stejnou hodnotu z pohledu pozorovatele. V tomto pripade vysledny observovany uhel je prost markantnich chyb. Pokud vsak zakladna je schovana za obzorem, pak je z pohledu pozorovatele "zdvihan" pouze vrchol objektu, tj. observovany svisly uhel je vetsi, nez je tomu doopravdy. (Pominme ted samotny fakt, ze nemuzeme uplatnit pravouhly trojuhelnik.) Hodnotu chyby ve vzdalenosti muzeme zvazit pomerne presne pomoci koeficientu refrakce. Tak napriklad nejaka hora vysoka 3000 metru muze byt videna ze vzdalenosti hodne pres 100 Nm. V puli teto vzdalenosti, tj. v 50 Nm, chyba z terrestricke refrakce pri stanoveni vzdalenosti k hore ze svisleho uhlu pomoci sextantu bude 3.8 Nm.

-------------------------------------------

S terrestrickou refrakci prijdeme do styku i v nauticke astronomii (astronavigaci). Uhel terrestricke refrakce je soucasti uhlu inklinace zdanliveho obzoru (v anglictine Dip).

-------------------------------------------

Vyklad a obrazek obsahuji jiste nepresnosti = skutecnosti pro dany pripad irelevantni jsou vynechany.

-------------------------------------

Ja s tebou naprosto souhalsim, ze pro zjendoduseni kvizu bylo nutne predpokladat zem placatou. O tom zadna.

S uprimnou uctou
Roman

[lynx]

Ahoj Romane,
DÍK za obsáhlý a poučný výklad.
Mám několik poznámek:
* Ano, vycházel jsem ze znalosti astronomické refrakce, o terestrické jsem nevěděl.
* Též jsem vycházel z fyzikální definice refrakce, která (zjednodušeně) říká, že paprsek světla se láme na rozhraní dvou prostředí s různou optickou hustotou. Např. rozhraní vzduchu a skla u čočky dalekohledu nebo právě rozhraní dvou vzduchových hmot o různých (optických) vlastnostech. Tady mi právě nešlo do hlavy, jak může vzduch ve slabé přízemní vrstvě (zde silné jen 40 metrů) mít rozdílné vlastnosti – zřejmě tedy ano.
* Chápu-li to správně, tak chyba v měření na 5 mil bude 0,4' (v případě, že uvidíme horní i dolní konec majáku a za průměrných podmínek). To je podle mého názoru v případě takového kvizu akceptovatelná chyba. V praxi ovšem může rozdíl v poloze kolem 740 metrů hrát významnou roli.
* Abychom eliminovali chybu vzniklo tím, že základna skály, na které maják stojí, je pod obzorem, dá se k měření použít jen výška samotného tělesa majáku (což není totéž jako výška světla nad hladinou, jak víme ). Měření tím ovšem zatížíme větší relativní chybou, protože se stejnou (podobnou) absolutní chybou měříme menší hodnotu.

Jsem rád, že jsem kvizem rozpoutal takovouhle diskuzi. Tak teď někdo z vás ...

[windward]

Chápu-li to správně, tak chyba v měření na 5 mil bude 0,4' (v případě, že uvidíme horní i dolní konec majáku a za průměrných podmínek). To je podle mého názoru v případě takového kvizu akceptovatelná chyba. V praxi ovšem může rozdíl v poloze kolem 740 metrů hrát významnou roli.

Ja to jenom malinko opravim.

Pokud jak zakladna tak i vrchol objektu jsou videt, pak NENI NUTNE NIC OPRAVOVAT O REFRAKCI. Je mozne rovnou pocitat.

------------------------------------

A jen trochu upresnujici matematiky pro ty, kteri by se o to mohli zajimat.

Necht:

DZ - vzdalenost zdanliveho obzoru v Nm, ktery vidime diky refrakci
DT - vzdalenost teoretickeho obzoru v Nm, kratsiho nez DZ, ktery bychom vidlei, kdyby nebyla refrakce
X - rozdil mezi DZ a DT
K - je koeficient terrestricke refrakce rovny 0.08
R - refrakce v uhlovych minutach (neboli v Nm, coz je totez)

pak tedy

DZ = DT+R; R = K x DT, tj. DZ=DT+KxDT=(1+K)xDT (a mimochodem X=R)

dale z toho

DZ / DT = 1+K = 1.08
DZ=DT/1.08
DT=DZx1.08

Tak to pro dlouhe zimni vecery staci.

[Sajri]

Lynxi, Sajri uz je tu . Neprocital jsem vsechny vzorecky tady, jen potvrzuju, ze opticke vlastnosti uzke prizemni vrstvy mohou byt znacne odlisne od vrstev vyssich. Tak treba vznika fata morgana.

[lynx]

Ahoj Sajri, mně připadalo divné, že by k lomu světla docházelo i ve vrstvě slabé jen 40 metrů. Nečekal bych, že se v ní bude nacházet nějaké optické rozhraní.
Ale přijal jsem Romanovy argumenty, neb jsem si jist, že ten pán ví, o čem mluví.
Dík.

[Boxhall]

to windward:

prosim ta mozes ma nejako naviest ako treba uvazovat ked tento kviz pocitas ako pravouhly trojuholnik? Nejako mi to nechce vyjst a neviem, ci uvazujme spravne co sa tyka rozmerov trojuholnikov... Vdaka moc !

[windward]

Ahoj, Boxhalle,

apis prosim, ktery konkretne trojuhelnik mas na mysli, abychom se mohli podvat v cem se lisime.

[Boxhall]

No, ja som skor chcel vediet, ako na to ides ty, resp. ako sa na to ma ist. Ja som to skusal takto:



Podla toho je

sin(beta) = 2,6 / 9260 (9260m = 5nm * 1852m/nm)
x = 2,6 / tan(beta)

a

x mi vyslo radovo nejakych 9259,999635m (+ nejake drobne), takze nejaky 1 mm kratsie ako povodnych 5nm.
Co robim zle?

(samozrejme uvazujeme, ze zem je placka a nema atmosferu => ziadna refrakcia)...

[windward]

Ahoj, Boxhall,

omlouvam se za znacne opozdenou odpoved.

Na tvem vykresu uhel pri oku pozorovatele ve vysce 2.6 m se nerovna uhlu ve vysce 0.0 m. Ve skutecnosti se vsak tyto uhly musi byt stejne, protoze pozorovatelovo oko lezi na kruznici stejnych uhlu, ktera protina tri body: zakladna objektu, jeho vrchol, oko pozorovatele. Zroven cervena usecka oznacena 5Nm musi byt vodorovna, protoze znaci vzdalenost.

[windward]

Tak jsem se pro cvik rozmohl na nejaky obrazek.



Zelene usecky musi svirat na prave strane kruznice stejnych uhlu stejny uhel.

H = 40 m, je vyska objektu
e = 2.6 m, je to vyska oka nad hladinou more
D = 5 Nm, je to distance k objektu od oka pozorovatele ve vysce 2.6 m
dD je chyba distance, ktera vznika zanedbanim vysky oka nad hladinou more
vsimneme si, ze dD se rovna a

Mame zde kruznici a do ni vepsane dve tetivy:

- jedna tetiva se rovna H
- druha tetiva se rovna D+a anebo D+dD

Obe tetivy se uvnitr kruznice krizi, proto musi platit nasledujici vztah (teorem krizicich se tetiv):

D/e = (H-e)/dD

to znamena

dD = e (H-e) / D

Dosadime hodnoty ze zadani:

dD = 2.6m (40m - 2.6m) / 5 Nm
dD = 10.501 mm

A to je vse.